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Conchóide de Nicomedes
Período: 240 a.C. aproximadamente
Assuntos matemáticos envolvidos:
  • Geometria: conchóide de Nicomedes

A conchóide de Nicomedes é usada na trissecção de um ângulo e na duplicação do cubo. Ela pode ser construída usando um dispositivo mecânico que será descrito a seguir. Seja AB uma régua com uma abertura paralela ao seu comprimento, FE uma segunda régua fixada perpendicularmente a AB, com um pólo C fixado nela. A terceira régua PC, que aponta para P, também tem uma abertura paralela ao seu comprimento com ajuste no ponto C. D é o pólo fixado em PC que pode mover-se na abertura de AB. Se a régua PC se move de forma que o ponto D descreve o comprimento da abertura em AB, a extremidade P da régua descreve a curva que é chamada conchóide.

conchoide1.gif

A propriedade fundamental da conchóide é que se desenharmos qualquer raio vetor de C para a curva, como CP, o comprimento entre a intersecção com a curva e a intersecção com a reta r é constante.

conchoide2.gif

Como foi feito na trissecção do ângulo, para dividir um ângulo qualquer em três partes iguais faremos o seguinte: Seja ABC um ângulo qualquer que desejamos trissectar. Deve-se desenhar um retângulo ACBD de modo que AB seja uma de suas diagonais. Agora considere uma reta por B e cortando CA em E e o prolongamento de DA em F de tal modo que EF = 2 (BA). Seja G o ponto médio de EF, podemos provar que GA = GF = AB e que o ângulo ABG = AGB. Como AGB é ângulo externo do triângulo AGF temos: ABG = 2 GFA = 2 GBC Assim ABC = 3 GBC, pois ABC = ABG + GBC.

conchoide3.gif

Portanto para trissectar o ângulo ABC, basta traçar EF=2AB, porém apenas com régua e compasso euclidianos é impossível; sendo B, E e F pontos colineares. Assim este problema foi solucionado utilizando a conchóide. Seja ABC o ângulo que queremos trissectar, com AB = a e seja a conchóide abaixo desenhada de tal forma que AD'= 2 AB = 2 a (pela propriedade explicada acima).

conchoide4.gif

Traçando uma reta r que passa por A e é perpendicular a reta s. Chamamos de F a intersecção de r com a conchóide e traçamos o segmento BF. Novamente EF = AD = CG = 2a. Portanto encontramos o segmento EF = 2a acima procurado e o ângulo ABC esta trissectado.

Abaixo a mesma ilustração, desta vez utilizando o programa de Geometria Interativa iGeom.


Ilustração dinâmica da Conchóide de Nicomedes: clique sobre os pontos C ou F, solte o botão do "mouse" e mova-o pela tela.

 

Alterado em: 17/07/2002
Texto de: Fernanda Buhrer Rizzato; supervisão e orientação: prof. Doutor Francisco César Polcino Milies
Bibliografia:

Compilado em: 26 de Fevereiro de 2008

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