Willian Rowan Hamilton, nasceu em Dublin, Irlanda, em 1805. Ficou órfão cedo e sua educação fora confiada a um tio que o educou severamente e ecleticamente dando forte ênfase a lingüistica. Aos quinze anos de idade encontrou-se com Zerah Colburn, jovem americano que realizava cálculos mentais instantaneamente, despertando seu interesse pela matemática. Leu os Principia de Newton e Mécanique Celeste de Laplace onde descobriu um erro matemático e escreveu em artigo a respeito.

Em 1824 ingressou em Trinity College, Dublin e aos 22 anos de idade, ainda aluno de graduação, foi nomeado Royal Astronomer da Irlanda, diretor do Observatório de Dunsik e professor de astronomia da universidade. Pouco depois, baseado em considerações teóricas, prognosticou a refração cônica em cristais biaxiais, o que veio a ser confirmado experimentalmente pelos físicos. Em 1833 comunicou a Academia Irlandesa significativo artigo em que a álgebra dos números complexos era definida como uma álgebra de pares ordenados de números reais, definição que usamos até hoje. Do ponto de vista físico, o sistema dos números complexos é extremamente conveniente para o estudo dos vetores e das rotações do plano. Hamilton vislumbrou a possibilidade de um sistema de números análogo para o estudo dos vetores e das rotações do espaço tridimensional. Em suas pesquisas considerou quádruplos ordenados (a, b, c, d) de números reais, tendo imersos neles tanto os números reais como os números complexos. Chamando esses elementos de quatérnios (reais). Hamilton definiu a adição e a multiplicação dos quatérnios, podendo verificar as propriedades associativas e comutativa da adição e que a multiplicação é associativa e distributiva em relação à adição, mas não vale a lei comutativa da multiplicação. Este é, historicamente, o primeiro exemplo de uma álgebra não-comutativa.

Hamilton contava a história de que a idéia de abandonar a lei comutativa da multiplicação ocorreu enquanto caminhava com a esposa ao longo do Royal Canal perto de Dublin, pouco antes de escurecer. Ele pegou seu canivete e com ele gravou a parte fundamental da tábua de multiplicação dos quatérnios numa das pedras da Ponte Brougham (ainda hoje existe a pedra e uma placa contando a história citada).

Assim, a álgebra dos quatérnios, a primeira álgebra não-comutativa, subitamente nasceu e abriu as portas da álgebra abstrata.

Sua obra Suas Lectures on Quaternions foi publicada em 1853, e depois disso dedicou-se à preparação da obra ampliada, Elements of Quaternions. Esta não estava terminada quando ele morreu em 1865 mas foi editada e publicada por seu filho no ano seguinte. Hamilton definiu conceitos hoje muito utilizados como versor, gradiente, divergência, etc..

Os métodos dos quatérnios motivaram, tempo depois, a introdução de análise vetorial.

Hamilton escreveu também sobre ótica, dinâmica, a solução das equações de quinto grau, o hodógrafo de uma partícula em movimento e soluções numéricas de equações diferencias.