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Máximo divisor comum e Mínimo múltiplo comum
Período: 580 - 500 a.C. aproximadamente
Assuntos matemáticos envolvidos:

  1. Máximo Divisor Comum

    Atualmente a definição de Máximo Divisor Comum (MDC) pode ser assim formalizada:
    Sejam a, b e c números inteiros não nulos, dizemos que c é um divisor comum de a e b se: c divide a (escrevemos c|a) e c divide b (c|b).

    Denotando-se D(a,b) como sendo o conjunto de todos os divisores comum de a e b, denomina-se Máximo Divisor Comum de a e b o maior de seus divisores comuns, isto é, mdc(a,b) = max {m : m pertença ao conjunto D(a,b)}.

    Como exemplo, vamos calcular o MDC dos números 12 e 18.

    Inicialmente decompomos estes números em seus fatores primos (para encontrar os divisores):

    Agora podemos exibir o conjunto dos divisores D(12,18) = {2,3,6}, pois 2|12 e 2|18, 3|12 e 3|18, 6|12 e 6|18.

    Logo pela definição, segue que

    mdc(12,18) = max{i: i pertença à D(12,18)} = max{2,3,6} = 6.

  2. Mínimo Multiplo Comum

    De modo análogo podemos formalizar o conceito de Mínimo Múltiplo Comum (MMC):

    Sejam a, b e c números inteiros não nulos. Dizemos que c é um múltiplo comum de a e b se: a divide c (a|c) e b divide c (b|c).

    Denotando-se M(a,b) como o conjunto de todos os múltiplos comuns positivos de a e b, Denomina-se Mínimo Múltiplo Comum de a e b, o menor de seus múltiplos positivos comuns, isto é, mmc(a, b) = mim {m : m pertença ao conjunto M(a,b)}.

    Para ilustrar o conceito examinaremos o MMC dos números 12 e 18. Para isso podemos gerar os primeiros múltiplos nos conjuntos de multiplos de ambos:
    M(12) = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...}
    M(18) = { 18, 36, 54, 72, 90, 108, ... }
    deste, fazendo a interseção entre ambos os conjuntos obtemos M(12, 18) = { 36, 72, ... }, e portanto

    mmc(12, 18) = mim {i: i pertença à M(12, 18)} = min{ 36, 72, ... } = 36.
    (note que 12|36 e 18|36).

 

Alterado em: 22/02/2008, 28/01/2003, 13/09/2000
Texto de: Valéria Ostete Jannis Luchetta; supervisão e orientação: prof. Doutor Francisco César Polcino Milies; revisão LOB
Bibliografia:

Compilado em: 26 de Fevereiro de 2008

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