174. Dados dois pontos A e B do plano e uma constante , determinar o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que

.

1^a Solução:

• Quando , o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que é a mediatriz de AB, pois ( Û P Î mediatriz de AB).

• Quando , consideraremos, sem perda de generalidade, o caso

.

2. Os pontos obtidos em a) são os únicos da reta AB tais que . (Por quê?)

3. Se P é um ponto fora da reta AB tal que , mostremos que P pertence à circunferência C que passa por e e tem diâmetro . De fato:

   Sendo PC bissetriz interna do ângulo , segue do teorema da bissetriz interna: .
   Sendo PD bissetriz externa do ângulo , segue do teorema da bissetriz externa: .

   Como C e D são pontos da reta AB tais que , então, por b), . (A existência do ponto D é garantida por termos )

   Logo, P pertence à circunferência C, já que as bissetrizes interna e externa são perpendiculares.

4. Reciprocamente, dado um ponto P na circunferência C, mostremos que

e então concluiremos que o lugar geométrico dos pontos P é a circunferência C.

Observação: o raio da circunferência C é , obtido de:

(Adaptada das soluções enviadas por Antonio Ferreira Sobrinho e outros leitores.)

2^a Solução: O problema é clássico em Geometria Analítica, com a solução:

Se , obtemos a mediatriz; se , obtemos a circunferência.

170. Se dois triângulos têm dois ângulos respectivamente iguais e dois ângulos respectivamente suplementares, mostre que os lados opostos aos ângulos iguais são proporcionais aos lados opostos aos ângulos suplementares.

     Solução:

     Os triângulos do enunciado podem ser considerados justapostos como ABD e AFG da figura.

     Queremos mostrar que . Aplicando o teorema da bissetriz interna ao triângulo ABC, temos . Como , temos . Logo, .

     (Solução enviada por João Linneu do Amaral Prado, SP.)

171. Dez times, , participam de um campeonato no qual cada time joga com todos os outros uma única vez. Os 45 jogos serão realizados em 9 rodadas, cada uma com 5 jogos. Construa uma tabela para esse campeonato, ressaltando, se for o caso, aspectos geométricos de sua solução.

     Solução:

     Inicialmente vamos deixar de fora e construir uma tabela para os 36 jogos que envolvem os times . É claro que cada rodada terá quatro jogos e um dos times irá necessariamente ficar fora. Se o nosso processo de construção fizer com que cada um dos nove times fique fora uma e uma só vez, a tabela será completada colocando o quinto jogo de cada rodada entre o time que ficou fora e . Na proposta que faremos a seguir, vamos convencionar que se j for congruente a k módulo 9.

     Para a i-ésima rodada , os jogos serão:

     ; ; ; , ficando fora .

     Em palavras, enfrenta na i-ésima rodada se e só se for congruente a módulo 9. Esquematizando:

     1a rodada, fica fora	2a rodada, fica fora	3a rodada, fica fora

     A sétima rodada, por exemplo, será constituída pelos jogos:

     ; ; ; .

     A soma dos índices será congruente a .

     fica fora nessa rodada.

     Com essa construção fica fácil mostrar que os times se enfrentam uma e uma só vez e que nenhum time é escalado para mais de um jogo numa mesma rodada. Finalmente, cada um dos nove times fica fora uma e uma só vez, permitindo que a tabela seja completada.

172. Os números inteiros são escritos em ordem em volta de um círculo. A partir do número 1, marque todo décimo quarto número, isto é, marque

, parando no momento em que for atingido um número já marcado. Determine quantos números não marcados restam.

Solução:

Na primeira etapa serão marcados os números 1, 15, 29, ..., isto é, todos os números menores do que 1000 que divididos por 14 deixam resto 1. O último número desse conjunto é 995, o que nos permite concluir que na segunda etapa serão marcados todos os números que divididos por 14 deixam resto 9. Um raciocínio análogo nos permite determinar o que ocorre nas etapas seguintes.

É fácil ver que a próxima etapa começaria com o número 1, repetindo assim a primeira, o que nos permite concluir que o processo termina após sete etapas. Para determinar a quantidade de números não marcados, a maneira direta seria somar os números de termos de cada uma das progressões aritméticas acima e subtrair o total de 1000. O mais simples é observar que qualquer número ímpar dividido por 14 deixa resto ímpar e, portanto, estará incluído em uma das progressões. Nenhum número par dividido por 14 deixa resto ímpar e, portanto, existem exatamente 500 números não marcados.

Relação dos leitores que enviaram soluções dos

problemas da RPM 40

Nota: O leitor Wanderley Gamba, SP, nos enviou uma solução correta do problema 167, e o leitor Manuel João de Jesus Almeida, RJ, nos enviou uma solução correta do problema 165. Por falha nossa, seus nomes não saíram na lista dos acertadores da RPM 41. A eles nossas sinceras desculpas.