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iMática - Soluções dos Problemas propostos na: RPM 42

A figura ao lado mostra um pentágono regular inscrito numa circunferência de raio unitário. Determine a medida da área sombreada.

Solução:

Sendo o raio da circunferência unitário, temos:

Então, área OAB .

E área

Se S= área e s= área , então

Se s .

Logo, a área A procurada é dada por

. Substituindo os valores

(ver RPM 36), obtemos .

(Adaptada da solução enviada por Geraldo Perlino, SP.)

Sejam a, b, c retas paralelas distintas duas a duas. Mostre que existem triângulos equiláteros cujos vértices A, B, C são pontos das retas a, b, c respectivamente.

Solução:

Considere a, b, c retas paralelas coplanares.

A seguinte construção pode ser feita usando apenas régua e compasso.

Fixamos e fazemos uma rotação de , no sentido anti-horário, da reta b em torno de A, obtendo uma reta que corta a reta c no ponto C.

Fazemos a rotação, no sentido horário, do ponto C em torno de A, obtendo na interseção com b o ponto .

Os triângulos retângulos AHC e são congruentes, uma vez que

AH = e AB = AC. Logo, = , que implica de modo que o ABC é equilátero.

(Solução enviada por F. W. Leão, RJ.)

Obs.: O leitor Alberto Hassen Raad, MG, observou e provou, usando Geometria Analítica, que o enunciado também vale se as retas a, b e c são paralelas não coplanares.

Use um argumento combinatório para determinar o valor de

sendo n um inteiro maior ou igual a 1.

Solução:

Um grupo de pessoas é formado por n homens e n mulheres. Existem maneiras de escolhermos um conjunto de n pessoas desse grupo. Vamos determinar em quantos desses conjuntos existem exatamente K homens. Para isso vamos observar que os K homens podem ser escolhidos de maneiras e as n-k mulheres de maneiras. Segue-se que, para , o número de conjuntos de n pessoas que contêm exatamente K homens será dado por .

Conclui-se portanto que

(Adaptada da solução enviada por Carlos A. Gomes da Silva, RN.)

Nota: Vários leitores determinaram o valor da expressão utilizando indução, desenvolvimento de binômios, etc. Essas soluções não foram consideradas porque a questão pedia explicitamente a utilização de um argumento combinatório.

Mostre que, se n é um número inteiro, positivo, ímpar e não primo, então n pode ser expresso como uma soma de três ou mais números inteiros, positivos e consecutivos. Essa representação é única?

Solução:

Como n é ímpar e não é primo, n pode ser expresso como um produto , onde e e são ambos ímpares. Vamos supor, sem perda de generalidade, que . Como é ímpar, nós podemos considerar a seqüência de números consecutivos que tem como termo central. O número de termos dessa seqüência é maior ou igual a 3 e a soma deles é igual a . Da hipótese segue-se que todos os termos da seqüência são positivos. Por outro lado, é fácil mostrar que a representação não é única. Por exemplo, . O leitor interessado poderá tentar encontrar condições que n deve satisfazer para que a representação seja única.

Relação dos leitores que enviaram soluções dos

problemas da RPM 42


Alberto Hasser Raad, MG – 178, 179	Guita Nascimento, RJ – 178
Amadeu Carneiro de Almeida, RJ – 178, 179	João Linneu do A. Prado, SP – 178, 181
Américo Antônio Figo, SP – 179	Jorge Ferreira dos Santos, RJ – 178
André Luiz S. de Araújo, RJ – 179, 181	Luciano Marinho Filho, PE – 178
Antonio Ferreira Sobrinho, SP – 178	Marcos Garcia de Souza, SP – 181
Carlos A. da Silva Victor, RJ – 179, 181	Milton Dini Maciel, SP – 178
Carlos A. Gomes da Silva, RN – 180	Ricardo Klein Hoffmann, RS – 180
Cristovam A. Girodo, SP – 178	Roberto Luis Dotto, SP – 178
Ercole Pellicano Neto, SP – 180	Trajano Pires da Nóbrega Neto, SP – 181
F. W. Leão, RJ – 178, 179, 180, 181	Tsunediro Takahaski, SP – 179
Fernando Carvalho Ramos, RS – 178,181	Wanderley Gamba, SP – 178, 181
Geraldo Perlino, SP – 178	Zilton Gonçalves, RJ – 178
Geraldo Perlino Junior, SP – 179, 181

NOTA: Recebemos, com tristeza, a notícia do falecimento (agosto/00) de nosso leitor Francisco Wilson Leão que durante 13 anos, sem interrupção, constou da lista de acertadores desta seção como F. W. Leão, RJ. Enviou-nos, pouco antes de falecer, a carta com os quatro problemas da RPM 42 resolvidos corretamente.

Obs. Na relação de acertadores publicada na RPM 42 foi omitido o recebimento da solução correta do problema 171 enviada por André Souza de Araújo. A ele nossas desculpas.

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